Помогите решить задачку.

[THE OLD VERMIN]

Помогите, пожалуйста, кому не трудно, а то у меня уже башка заболела - плохо, когда не знаешь, да еще забудешь.

Найти уравнение траектории т.А, которая в каждый момент движения находится вдвое дальше от т.В(5;0), чем от оси абсцисс.

[Симаргл]

y=10, прямая параллельна оси X (обсцисса).

Вот только насчет десятки не уверен... Если не правильно, суда подставить x-координату т. А

[Тролль]

Соединив любую точку на плоскости с точкой B (она на оси абсцисс) и опустив с этой точки перпендикуляр на ось абсцисс, получаем прямоугольный треугольник. Отрезок, соединяющий точку с осью абсцисс - катет, соединяющий с точкой B - гипотенуза. По условию гипотенуза вдвое больше катета, то есть катет вдвое меньше гипотенузы. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы - это учат еще до тригонометрии.

Значит, точки лежат на прямых, проходящих через точку B и составляющих с осью абсцисс 30°. Точки могут лежать как над осью абсцисс, так и под ней. То есть имеем две траектории, обе - прямые, проходящие через точку B и пересекающие в ней ось абсцисс под углом в 30°.

При решении задачи с помощью тригонометрии будет использоваться синус: соотношение катета и гипотенузы равно 0,5, а синус, равный 0,5, соответствует углу в 30°.

Решение на основе аналитической геометрии:

√((х-5)^2+y^2) = 2*|y|

(расстояние до точки - квадратный корень из суммы квадратов разностей координат, впрочем, это все та же теорема Пифагора, недаром он после ее открытия принес в жертву богам 100 быков)

Отсюда (x-5)^2+y^2=4*y^2

3*y^2=(x-5)^2

√3*y=+-(x-5)

y=+-(√3/3*x-5/√3)

Это уравнение двух прямых с тангенсом угла наклона +-√3/3, то есть соответствующим углу в 30°. Ответ, естественно, тот же, что и при использовании чистой геометрии или тригонометрии. На всякий случай проверим: при y=0 будет х=5.

[Симаргл]

Я был неправ!

Тролль: молодец!

[THE OLD VERMIN]

А еще вот такой примерчик:

и такой

хотя бы направление...

PS:

Задание для 1 примера:

Функция z=f(x,y) задана в неявном виде. Найти полный дифференциал функции dz

Задание для 2 примера:

Дана функция w-f(x,y,z). Показать, что справедливо указанное в задаче соотношение.

[Тролль]

THE OLD VERMIN

По первой задаче: записываем неявную функцию в виде F(x,y,z)=0, находим частные производные по x и y по правилу дифференцирования неявных функций, записываем с их помощью полный дифференциал. См. прилагаемый рисунок.

Со второй задачей у меня что-то не получилось. Вроде бы все шло нормально, но остался несократимый хвост (: . Кто виноват, хвост или я, неизвестно.

P.S. По просьбе в ПМ выкладываю дополнительно выкладки по второму примеру, где равенство, которое просят доказать, не выполняется. Не исключено, что дело в неправильном прочтении нечеткого скана условия.

Edited December 16, 2005 by Тролль