Помогите решить задачу

[Тургеневская барышня]

Люди добрые! Помогите, пожалуйста, решить задачу!

Вот условия:

Основание пирамиды – треугольник со сторонами 30 см, 28 см и 26 см. высоты боковых граней равны «восемь корней из двух».

Вычислить: а) высоту пирамиды; б) расстояние от основания высоты пирамиды до плоскости боковой грани.

По идее она лёгкая должна быть, только я вот вообще не врубаюсь почему-то…

В общем, жду…

;)

[Staind]

а) объем пирамиды = 1 / 3 площадь основания умножить на высоту. вот тебе высота.

[Тролль]

Staind:

Осталось только сначала найти объем... :)

Тургеневская барышня:

Решать не буду - некогда и, честно сказать, скучновато. Но как бы я решал, напишу.

Что мы знаем? Высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из ее вершины на основание. В вершине пирамиды сходятся также высоты боковых сторон. Имеем три прямоугольных треугольника, гипотенузы (высоты боковых сторон) в них одинаковы, один катет (высота пирамиды) общий. Значит, треугольники равны. Их вторые катеты, распластавшиеся на основании пирамиды, тоже, значит, равны.

Так как высоты граней перпендикулярны сторонам основания, то их проекции на основание тоже перпендикулярны сторонам основания, то есть эти проекции (наши катеты) тоже перпендикулярны сторонам основания, к тому же они равны и исходят из одной точки, значит, представляют собой радиусы вписанной окружности. Следовательно, высота пирамиды попадает в центр окружности, вписанной в треугольник основания.

Теперь можно начинать считать.

Радиус вписанной окружности по какой-то формуле (которую я по серости не помню, но которая есть в учебнике), выражается через стороны треугольника (или через его площадь, которую тоже легко найти через стороны по формуле Герона). Этот радиус, высота грани и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник (их три - для каждой из высот граней свой, но так как высоты граней равны, радиусы вписанной окружности тоже, само собой, равны, а высота пирамиды для всех общая, то и треугольники одинаковы). В них известны катет (наш радиус) и гипотенуза (высота боковой грани). Отсюда вычисляем второй катет, то есть высоту пирамиды. При желании теперь можно и объем вычислить.

Что нам еще надо? Расстояния от основания высоты пирамиды до плоскостей боковых граней? Это высоты тех же прямоугольных треугольников, для каждого из которых мы знаем все три стороны. Высота, опущенная на гипотенузу, тоже выражается по какой-то несложной формуле, так как относится к катету, как второй катет к гипотенузе или что-то в этом роде (начерти прямоугольный треугольник, и высота разобъет его на два треугольника, подобных исходному, отсюда и получается формула).

Надеюсь, нигде не ошибся. Скучное это дело - геометрия...

Изменено 15 апреля, 2006 пользователем Тролль

[Siberex]

Тургеневская барышня:

Если будешь использовать решение, предложенное Троллем, то вот формулы:

S - площадь треугольника со сторонами a, b, с

p - его полупериметр, т.е. (a+b+c)/2

r - радиус вписанной в него окружности

sqrt(z) - функция квадратного корня из величины z

S=(r/2)*(a+b+c)

и

S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) //ф-ла Герона

Подставив значения, получаем:

площадь треугольника (основания пирамиды) равна 336 см, радиус вписанной окружности равен 8 см

высота пирамиды из этого тоже равна 8 см. //по т. Пифагора

x - расстояния от основания высоты пирамиды до плоскостей боковых граней равны между собой, и выражаются в данном случае так:

x = sqrt(8^2-((8*sqrt(2))/2)^2) = sqrt(32) //по т. Пифагора

x = 4*sqrt(2) - "четыре корня из двух"

Изменено 15 апреля, 2006 пользователем Siberex

[Тургеневская барышня]

Тролль: Siberex: спасибо за дельные советы - я почти всё поняла. сейчас осознаю, что меня подвело незнание, а также неумение применять некоторые формулы. я вообще зачем-то стала площади боковых граней находить ( :D ).